抽象函数问题是高中函数中的一类综合性比较强的问题，学生往往感到无从下手。解决这类问题要求学生抽象思维能力、综合运用数学知识的能力较强，但是，教师只要引导学生准确掌握所学基本初等函数的图象和性质，分清是哪一类函数的抽象，可以优化思路，使问题难度降低，从而得以解决。
　　　　 下面举例说明：
　　　　形如f(x+y)=f(x)+f(y)+m(m为常数)
　　　　思路：看作 一次函数的抽象，联想一次函数的图象及性质。特例：m=0时，联想过原点的直线。
　　　　 例1.函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)=f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1．
　　　　 （1）求证：f(x)是R上的增函数；
　　　　 （2）若f(4)=5，解不等式f(3m2－m－2)<3．
（1）证明：设x1<x2，则△x=x2－x1>0，
　　　　 ∵x>0时，f(x)>1
　　　　 ∴f(x2－x1)>1，
　　　　 ∵f(x2)－f(x1)=f(x1＋x2－x1)－f(x1)
　　　　 =f(x1)＋f(x2－x1)－1－f(x1)
　　　　 =f(x2－x1)－1>0
　　　　 (2) ∵f(4)=f(2＋2)=2f(2)－1=5，∴f(2)=3．
　　　　 又f(x)是R上的增函数，
　　　　 ∴f(3m2－m－2)<3 f(3m2－m－2)<f(2)
　　　　 ∴f(x)是R上的增函数．∴f(3m2－m－2)<3
　　　　 f(3m2－m－2)<f(2)
　　　　 3m2－m－2<2 －1<m<
　　　　 解得不等式解集为{m|－1<m< 4/3 }．
　　　　点评 1.回归定义，充分运用已知条件:x>0时，f(x)>0 △x=x2－x1>0，f(x2－x1)>1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　 2.等价转化思想：运用函数的单调性，去掉函数符号，转化为解关于m的不等式。
　　　　
　　　　 思路：联想幂的运算性质，可看作指数函数的抽象，结合指数函数的图象和性质进行解题。

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　　　　 抽象函数问题，需要综合运用函数的奇偶性，单调性，周期性，对称性等性质，应用分析，逻辑推理，联想类比等数学思想方法。
　　　　 常见题型有：
　　　　 ①求抽象函数的某一函数值：根据函数结构特征，用赋值法。
　　　　 ②判（证）抽象函数的单调性：类比所学具体函数，充分运用已知条件，对变量合理赋值。
　　　　 ③解关于抽象函数的不等式：一看定义域，一看单调性。
　　　　 只要掌握相应的解题策略，问题便会化难为易，迎刃而解。

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